Méthode d'Euler

L'objectif de cette activité est de construire, de façon approchée, la courbe représentative de la fonction exponentielle \(f\) , définie et dérivable sur  \(\mathbb{R}\) , telle que  \(\begin{cases}f'(x)=f(x) \ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R} \\ f(0)=1 \end{cases}\) . 

La méthode mise au point par Leonhard Euler (1707-1783) que nous allons utiliser permet de déterminer une suite de points proches de ceux appartenant à la courbe. Nous allons ainsi obtenir une approximation de l'allure de la courbe cherchée.

Méthode  

1. On se place dans un repère et on considère le point  \(\text{M}\) de coordonnées  \((0;1)\) . Il appartient, par définition, à la courbe représentative de la fonction  \(f\) .

2. On détermine une équation de la tangente à la   courbe représentative de  \(f\) au point  \(\text{M}\) .

3. On considère le point \(\text{N}\) , appartenant à la tangente, et dont l'abscisse est  \(x_M+h\) ,  \(h\) étant un réel non nul choisi arbitrairement. On calcule l'ordonnée de  \(\text{N}\) .

4. On réitère l'algorithme de construction à partir du point  \(\text{N}\) et on construit d'autres points.

Ce fichier de géométrie dynamique permet de visualiser les différentes étapes de construction en déplaçant le curseur « étape ». Vous pouvez choisir différentes valeurs de \(h\) aussi bien positives que négatives et observer l'effet sur l'approximation des points appartenant à la courbe de la fonction exponentielle. Vous pouvez à tout moment la visualiser en cochant la case « Visualiser la courbe de la fonction exponentielle ».

Calcul des coordonnées des points par la méthode d'Euler

1. Coordonnées du point  \(\boldsymbol {\text{N}}\)
    a. Rappeler l'abscisse du point   \(\text{N}\)  en fonction de \(h\) . 
    b. Montrer que l'équation de la tangente    \({T}_\text{M}\)  à la   courbe représentative de  \(f\)  au point  \(\text{M}\)  est :  \(y=x+1\) . 
    c. En déduire l'ordonnée de   \(\text{N}\) .

2. Coordonnées des points approchant la courbe représentative de la fonction exponentielle
Soit \((x_n)\) la suite des abscisses des points que l'on cherche définie par \(\begin{cases} x_0 =0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, x_{n+1} = x_n+h \end{cases}\)
Soit \((y_n)\)  la suite des ordonnées des points que l'on cherche définie par     \(\begin{cases} y_0 =1\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, y_{n+1} = (1+h)y_n \end{cases}\) . 
Soit \(h=0,1\) . 
    a. Élaborer une feuille de calcul pour calculer les coordonnées des points à construire comme montré dans la figure suivante.

    b. Quelle formule entrer dans la cellule C3 puis recopier vers la droite pour obtenir la ligne 3 ?
    c. Afficher le nuage des points de coordonnées \((x_n;y_n)\) .
    d. Modifier la valeur de \(h\) et observer le nuage de points correspondant. Expliquer ce qui se passe lorsque \(h\) est négatif.